Question

如图，EC⊥平面ABC，EC∥BD，平面ACD⊥平面ECB．
（Ⅰ）求证AC⊥BC；
（Ⅱ）若CA=CB=CE=2BD，求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由EC⊥平面ABC，AC?平面ABC，EC?平面ABC，得出AC⊥EC，EC⊥BC，∠ACB为A-EC-B的平面角，根据面面垂直可证明．
（Ⅱ）建立坐标系运用向量求解，求解平面DAE的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），
平面AEC的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），运用向量的数量积求解，注意二面角的范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵EC∥BD，
∴四边形BDEC为平面图形，
EC⊥平面ABC，AC?平面ABC，EC?平面ABC，
∴AC⊥EC，EC⊥BC，
∴∠ACB为A-EC-B的平面角，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
（Ⅱ）∵AC，BC，EC两两垂直，
∴分别以CA，CB，CE为x，y，z轴，建立坐标系，
∵CA=CB=CE=2BD，
∴A（2，0，0），C（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，1），
∴

AE

=（-2，0，2），

AD

=（-2，2，1），

CE

=（0，0，2），
设平面DAE的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），平面AEC的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
∴

AE • n1 =0 AD • n1 =0

，得

n1

=（1，

1

2

，1），

AE • n2 =0 CE • n2 =0

，得

n2

=（0，1，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1 2

9 4 ×1

=

1

3

∵二面角D-AE-C是锐二面角，
∴二面角D-AE-C的余弦值为：

1

3

．

点评：本题综合考察了空间直线的垂直问题，运用向量求二面角的问题，属于中档题，关键是求解坐标，计算准确．