Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是直角三角形，四边形A₁ACC₁和四边形A₁ABB₁均为正方形，D，E，F分别是A₁B₁，C₁C，BC的中点，AB=1．
（Ⅰ）证明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立如图所示的坐标系，利用向量方法证明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）利用等体积转化，求三棱锥A₁-ABE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：建立如图所示的坐标系，则D（$\frac{1}{2}$，0，1），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DF}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：三棱锥A₁-ABE的体积=三棱锥E-A₁AB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．