Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面 CDB₁；
（2）求三棱锥的体积${V_{B-{B_1}CD}}$．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设BC₁与B₁C的交点为E，利用向量共线证明：AC₁∥平面 CDB₁．
（2）设点B到平面CDB₁的距离为h，利用等体积法转化求解点B到平面CDB₁的距离．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁两两垂直，
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（1）证明：设BC₁与B₁C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}_{1}}$，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面 CDB₁，∴AC₁∥平面 CDB₁…（4分）
（2）设点B到平面CDB₁的距离为h，
在三棱锥B₁-BCD中，
∵${V_{{B_1}-BCD}}={V_{B-{B_1}CD}}$，且B₁B⊥平面 BCD，
∴${S_{△BCD}}•{B_1}B={S_{△{B_1}CD}}•h$…（6分）
易求得${S_{△BCD}}=1，{S_{△{B_1}CD}}=\frac{1}{2}CD•{B_1}D=\sqrt{3}$，
∴$h=\frac{{{S_{△BCD}}•{B_1}B}}{{{S_{△{B_1}CD}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
即点B到平面CDB₁的距离是$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（9分）
三棱锥的体积${V_{B-{B_1}CD}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{3}$，…（10分）

点评 本题考查空间向量在直线与平面平行的证明中的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．