题目内容
设a+b+c=1，a，b，c∈R+证明：
（1）ab+bc+ca≤
；
（2）
+
+
≥1．
（1）ab+bc+ca≤
| 1 |
| 3 |
（2）
| b2 |
| a |
| c2 |
| b |
| a2 |
| c |
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：利用基本不等式，即可证明．
解答：
证明：（1）∵（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴（a+b+c）2≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
；
（2）
+a≥2b，
+b≥2c，
+c≥2a，三式相加(
+a)+(
+b)+(
+c)≥2(b+c+a)，
∴
+
+
≥a+b+c=1．
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴（a+b+c）2≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
| 1 |
| 3 |
（2）
| b2 |
| a |
| c2 |
| b |
| a2 |
| c |
| b2 |
| a |
| c2 |
| b |
| a2 |
| c |
∴
| b2 |
| a |
| c2 |
| b |
| a2 |
| c |
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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| ||
B、
| ||
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| ||
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|
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