Question

（1）已知函数f（x）=|x-2|+|2x+1|，若不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•f（x）对任意m∈R且m≠0恒成立，求x的取值范围．
（2）对于x∈R，不等式|x-1|+|x-2|≥a²+b²+c²恒成立，试求a+2b+3c的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）依题意，得g(x)≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

对任意m∈R且m≠0恒成立，利用绝对值三角不等式易求|2m+3|+|m-3|≥|3m|，于是可得g（x）≤3，解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3即可；
（2）利用绝对值三角不等式易求|x-1|+|x-2|=|x-1|+|2-x|≥|x-1+2-x|=1，于是得a²+b²+c²≤1，利用柯西不等式（a+2b+3c）²≤（1²+2²+3²）（ a²+b²+c²）≤14，即可得到答案．

解答： 解：（1）不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•g（x）对任意m∈R且m≠0恒成立转化为g(x)≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

对任意m∈R且m≠0恒成立．…（2分）
因为|2m+3|+|m-3|≥|3m|⇒

|2m+3|+|m-3|

|m|

≥3所以g（x）≤3…（4分）
所以解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3

x＜- 1 2 2-x-(2x+1)≤3

，或

- 1 2 ≤x＜2 2-x+(2x+1)≤3

，或

x≥2 x-2+(2x+1)≤3

…（6分）
得x∈[-

2

3

，0]…（7分）
（2）|x-1|+|x-2|=|x-1|+|2-x|≥|x-1+2-x|=1，…（9分）
当且仅当（x-1）（2-x）≥0取等号，故a²+b²+c²≤1．…（10分）
由柯西不等式（a+2b+3c）²≤（1²+2²+3²）（ a²+b²+c²）≤14．…（12分）
由  

a 1 = b 2 = c 3 a2+b2+c2≤1

⇒

b=2a，c=3a a2≤ 1 14

，
即取a=

14

14

，b=

14

7

，c=

3 14

14

时等号成立．
故（a+2b+3）_max=

14

．…（14分）

点评：本题考查绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，突出考查等价转化思想与综合运算求解能力，属于难题．