Question

3．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x-3y≤-2}\\{x≥1}\end{array}\right.$若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 5+2$\sqrt{6}$
• C． 8+$\sqrt{15}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值．

解答 解：约束条件对应的 区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，
所以a+b=2，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{b}{a}+\frac{3a}{b}$）
≥2+$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{3a}{b}}$=2+$\sqrt{3}$；
当且仅当$\sqrt{3}$a=b，并且a+b=2时等号成立；
故选A．

点评 本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．