Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=3．求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及平面向量数量积的运算可求ac的值，由余弦定理结合已知可求a和c的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理，可求sinC，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosC的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解　（Ⅰ）∵由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，得c•acosB=2．
又∵cosB=$\frac{1}{3}$，
∴ac=6．由余弦定理，得a²+c²=b²+2accosB．
又∵b=3，
∴a²+c²=9+2×2=13．解得a=2，c=3或a=3，c=2．
∵a＞c，
∴a=3，c=2．
（Ⅱ）在△ABC中，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理，得sinC=$\frac{c}{b}$sinB=$\frac{2}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
因为a=b＞c，
所以C为锐角．因此cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{7}{9}$．
于是cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{1}{3}$×$\frac{7}{9}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角及两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．