Question

8．已知$f（x）=2\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）（{ω＞0}）$，且f（x+θ）是最小正周期为2π的偶函数．   
（1）求ω，θ的值；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的最值及此时的x值；
（3）若$|θ|＜\frac{π}{2}$，求y=cos（2x+θ）在[-π，π]的单增区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用三角函数的图象与性质求出ω和θ的值；
（2）写出f（x）的解析式，根据x的取值范围求出f（x）的最值以及对应x的值；
（3）讨论θ的取值范围，求出对应g（x）的单调增区间即可．

解答 解：（1）由于f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），
可得f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
再根据f（x+θ）是周期为2π的偶函数，
可得$\frac{2π}{3ω}$=2π，3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）由（1）知，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
当x∈[0，π]时，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-3，2$\sqrt{3}$]，即f（x）∈[-3，2$\sqrt{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=π时，f（x）取得最小值-3；
x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2$\sqrt{3}$；
（3）当|θ|＜$\frac{π}{2}$时，-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
又x∈[-π，π]，∴2x∈[-2π，2π]，
∴2x+θ∈[-2π+θ，2π+θ]；
当-$\frac{π}{2}$＜θ≤0时，-$\frac{5π}{2}$＜-2π+θ≤-2π，
∴g（x）的单调增区间是[-π，-π-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{-π-θ}{2}$，-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{π-θ}{2}$，π]；
当0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，2π＜2π+θ＜$\frac{5π}{2}$，
∴g（x）的单调增区间是[$\frac{-π-θ}{2}$，-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{π-θ}{2}$，π-$\frac{θ}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题问题，也考查了函数的单调性和最值问题，是综合性题目．