Question

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）由题意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由椭圆定义法知，Q点的轨迹是以E，F为焦点实轴长的椭圆，求出，写出点Q的轨迹方程；（2）设出M、N点坐标和直线MN方程，代入曲线T的方程，整理成关于x的二次方程，利用根与系数关系将，用参数表示出来，利用判别式大于0列出关于参数的不等式，再利用题中的向量条件用参数把P点坐标表示出来，代入曲线T的方程，得出关于参数的等式，代入判别式得到关于的不等式，求出的范围.
试题解析:（1）点在线段的垂直平分线上，则，又，
则，故可得点的轨迹方程为.
（2）令经过点的直线为，则的斜率存在，设直线的方程为，
将其代入椭圆方程整理可得
设，则，故
（1）当时，点关于原点对称，则
（2）当时，点不关于原点对称，则
由，得，故
则，因为在椭圆上，故
化简，得，又，故得     ①
又，得       ②
联立①②两式及，得，故且
综上（1）（2）两种情况，得实数的取值范围是.