Question

已知向量

m

=（x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，k为常数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（1）若函数f（x）在区间（s，s+

1

2

）（s＞0）上存在极值，求实数s的取值范围；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞

t

x+1

恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,平面向量及应用

分析：由条件

m

∥

n

便可得到存在一个非零实数a，有

m

=a

n

，带入坐标便能得出f（x），并能求出f′（x）．根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，便得到f′（1）=0，从而求出k，求出函数f（x）．并能说明x=1是f（x）的极点．对于第一问，要使f（x）在（s，s+

1

2

）上存在极点，只要让x=1在（s，s+

1

2

）内即可，这便能求出s的取值范围．对于第二问，只要让f（x）的最大值大于

t

x+1

的最大值即可让条件成立，所以转而求函数的最大值，从而得出t的取值范围．

解答： 解：由

m

∥

n

可得：存在非零实数a使

m

=a

n

，所以得到：

x=a lnx+k=af(x)

，所以f(x)=

lnx+k

x

，所以f′(x)=

1-k-lnx

x2

；
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与y轴垂直得f′（1）=0，∴k=1，所以f（x）=

lnx+1

x

且x=1是函数f（x）的极值点；
（1）若函数f（x）在区间（s，s+

1

2

）（s＞0）上存在极值，则

s＜1 s+ 1 2 ＞1

，∴

1

2

＜s＜1，∴s的取值范围是（

1

2

，1）．
（2）设g（x）=

t

x+1

，对?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞

t

x+1

恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立，则：f_max（x）＞g_max（x）；
∵f′（x）=-

lnx

x2

＜0，∴在[1，+∞）上f（x）单调递减，所以f_max（x）=f（1）=1；
∵g′（x）=-

1

(x+1)2

＜0，∴在[1，+∞）上g（x）单调递减，所以gmax(x)=g(1)=

t

2

；
∴1＞

t

2

，即t＜2∴实数t的取值范围是（-∞，2）．

点评：用到的知识点有：共线向量基本定理，切线的斜率和函数导数的关系，求函数的极点，求函数的最值．所要值得注意的是第二问，要让原不等式恒成立，只要让函数的最大值满足不等式即可．