Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{

1

anan+2

}的前n项和为S_n，不等式S_n＞

1

6

（a²-5a+8）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条件知a₁=1．当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由题意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知a_n=n，

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，再用裂项求和法能够推导出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，
都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
∴a13=a12，∵a₁＞0，解得a₁=1．
1+a₂³=（1+a₂）²，∵a₂＞0，解得a₂=2．
（2）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得：an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，③
同理，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，n≥2，④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
∴a_n+1-a_n=1，
∵a₂-a₁=1，∴当n≥1时有a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（3）

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴数列{S_n}单调递增．
∴（S_n）_min=S₁=

1

3

．
∵S_n＞

1

6

（a²-5a+8）对任意的正整数n恒成立，
∴

1

6

（a²-5a+8）＜

1

3

恒成立，
解得2＜a＜3．
∴实数a的取值范围（2，3）．

点评：本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识