Question

15．以下命题正确的个数为（　　）
①若“p且q”与“?p或q”均为假命题，则p真q假；
②“a＞0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）上单调递减”的充要条件；
③函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使得f（x₀）=0，则a的取值范围是a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$；
 ④若向量$\overrightarrow a=（{-1，2，3}），\overrightarrow b=（{2，m，-6}）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则m＜10．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据“p且q”与“?p或q”均为假命题，结合复合命题的真值表，易判断命题p与q的真假，根据原命题与其否定之间的关系，即得答案；
②根据二次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可；
③由零点存在性定理，通过f（-1）•f（1）＜0，即可得出结论；
④由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，解不等式排除共线的情形即可．

解答 解：对于①，若“p且q”为假命题，则p与q存在假命题，
又“?p或q”为假命题，则?p与q均为假命题，故p真q假，命题①正确；
对于②，如图所示，当a＞0时，f（x）=|ax²-x|=|a（x²-x）|=|a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
则函数f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²-x|=|ax（x-$\frac{1}{a}$）|=0得两个根分别为x=0或x=$\frac{1}{a}$＞0，
∴函数f（x）=|ax²-x|在区间（-∞，0）内单调递减，充分性成立；
当a=0时，函数f（x）=|ax²-x|=|x|，满足在区间（-∞，0）上单调递减”，必要性不成立；
∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）内单调递减”的充分不必要条件，命题②错误；
对于③，函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，
由零点存在性定理，可知f（-1）•f（1）＜0，即（-3a+1-2a）•（3a+1-2a）＜0；
解得a＜-1或a＞$\frac{1}{5}$，命题③正确；
 ④若向量$\overrightarrow a=（{-1，2，3}），\overrightarrow b=（{2，m，-6}）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0可得-2+2m-18＜0，
解得m＜10，
当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线时，$\frac{-1}{2}$=$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{-6}$，可得m=-4，
∴实数m的取值范围为：m＜10且m≠-4，命题④错误．
综上，正确的命题序号是①③．
故选：B．

点评 本题考查了复合命题与二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的定义以及空间向量的应用问题，是综合性题目．