Question

7．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|（a∈R）．
（1）若f（x）的最小值为1，求实数a的值；
（2）若a=-3，求不等式f（x）≥3的解集．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的绝对值的几何意义即可求出．
（2）进行分类讨论，分别解出3种情况下不等式的解集，最后取并集可得原不等式的解集．

解答 解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-2|≥|（x+a）-（x-2）|=|a+2|=1，所以a=-3或a=-1．
（2）由f（x）≥3得，|x-3|+|x-2|≥3．
当x≤2时，不等式可化为5-2x≥3，所以x≤1；
当2＜x＜3时，不等式可化为1≥3，无解；
当x≥3时，不等式可化为2x-5≥3，所以x≥4．
综上所述，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≥4或x≤1}．

点评 本题给出含有绝对值的函数，求不等式f（x）≥3的解集．着重考查了绝对值的意义、分段函数的应用和不等式的解法等知识，属于中档题．