Question

设函数D（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，则下列结论正确的有

 

（把你认为正确的序号都写上）．
①D（x）的值域为 {0，1}               
②D（x）的图象关于y轴对称
③D（x）不是周期函数                 
④D（x）不是单调函数．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：根据已知函数f（x）的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值域，分别判断四个答案的真假，①②④正确，③错误．

解答： 解：∵函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，
D（2）=1，D（3）=1，D（

2

）=0，D（

3

）=0．
显然函数D（x）不是单调函数，故④正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；
当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；
即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故③错误；
当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函数，即②正确；
函数值域为{0，1}，故①显然正确；
故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质，正确理解新定义是解答的关键．