Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆x²+y²-2y=0（1≤y≤2）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当

OA

•

OC

=10时，则点C的横坐标的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由x²+y²-2y=0（1≤y≤2）可得x²+（y-1）²=1．设C（m，n）．当点A取右边半圆的端点（1，1）时，由

OA

•

OC

=10可得：m+n=10．利用

OA

与

OC

共线，可得n-m=0．联立解得m，此时点C的横坐标取得最大值；利用对称性可知：点C的横坐标的最小值．

解答： 解：如图所示，
由x²+y²-2y=0（1≤y≤2）可得x²+（y-1）²=1．
设C（m，n）．
当点A取右边半圆的端点（1，1）时，
由

OA

•

OC

=10可得：m+n=10，
又

OA

与

OC

共线，∴n-m=0．
联立解得m=5，此时点C的横坐标取得最大值5；
利用对称性可知：点C的横坐标的最小值为-5．
因此点C的横坐标的取值范围是[-5，5]．
故答案为：[-5，5]．

点评：本题考查了向量的关系定理、数量积运算、圆的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．