Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；
（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）a=1时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合分母为正，分子结合二次函数图象及性质，找出函数值为正值、负值的区间，得出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[1，2]递减，在（2，e]递增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-2ln2，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$＜f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e，
故f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e；
（2）a≤0时，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
∴①当-2＜a≤0时，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
②当a=-2时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
③当a＜-2时，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．