Question

若函数f（x）=

x

ax+b

（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将问题转化为ax²+（1-2a）x=0有唯一解，根据根的判别式△=0，求出a的值，从而求出f（x）的表达式．

解答： 解：由f（2）=1得

2

2a+b

=1，即b=2-2a，
故f（x）=

x

ax+2-2a

，
又f（x）=x有唯一解，即

x

ax+2-2a

=x有唯一解，
即ax²+（1-2a）x=0有唯一解，
而a≠0，故△=（1-2a）²-4a•0=0，
解得：a=

1

2

，
故f（x）=

2x

x+2

．

点评：本题考查了求函数解析式的问题，考查了一元二次方程根的判别式，是一道基础题．