Question

下列命题中：
①某中学高三（1）班有学生m人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、38号、49号的同学均被选出，则该班的学生人数m的取值范围为[55，59]；
②有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为20；
③已知圆C：x²+y²=12，直线l：4x+3y=25．圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为

1

6

；
④已知回归直线y=bx+a的回归系数b的估计值是1.23，

.

y

=5，

.

x

=4，则回归直线方程是y=1.23x+0.08．
正确命题的序号为：

 

．

Answer 1

考点：频率分布直方图,线性回归方程

专题：概率与统计

分析：①由系统抽样方法知，将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此可得答案；
②根据频率分布直方图求出样本数据落在区间[10，12）内的频率与频数；
③画出图形，结合图形求出圆心到直线l的距离以及半径r，从而得出圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的圆弧，即可求出概率；
④由回归直线y=bx+a过样本的中心点（

.

x

，

.

y

），从而求得回归直线方程．

解答： 解：对于①，按系统抽样的方法，是将总体分成均衡的5部分，分段的间隔是11，∴总体个数m满足：11×5≤m＜12×5，即55≤m＜60，①正确；
对于②，根据频率分布直方图得，样本数据落在区间[10，12）内的频率为：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18
∴频数为200×0.18=36；∴②错误；
对于③，圆心（0，0）到直线l的距离d=

25

5

=5，半径r=2

3

，如图；
∵OC=5-2=3，∴OA=OB=2

3

，∴cos∠AOC=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠AOC=

π

6

，∴∠AOB=2∠AOC=

π

3

；∴

AB

上的点到直线l的距离小于2，即圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为

1

6

；∴③正确；
对于④，由回归直线y=bx+a，求得a=

.

y

-b

.

x

=5-1.23×4=0.08，∴回归直线方程是y=1.23x+0.08，∴④正确．
∴以上正确的命题是①③④．
故故答案为：①③④．

点评：本题考查了频率分布直方图以及概率的有关知识应用问题，解题时应对每一个选项认真分析，从而选出正确的答案．