Question

7．某高校组织自主招生考试，共有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分 之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，已知笔试成绩在260分以上（含260分）的同学取得面试资格．
（Ⅰ）估计所有参加笔试的2000名学生中，取得面试资格的学生人数；
（Ⅱ）面试时，每位考生抽取三个问题（每人在 回答三个问题时对每一个问题正确回答的概率均为$\frac{1}{2}$）．若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则 获A类资格（不参加高考，直接录取）；其它情况下获B类资格（参加高考，降分录取），武估计获得A类资格和B类资格的人数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率和为1，求出对应的频率以及成绩在260分以上的频率，计算对应的频数；
（Ⅱ）计算成绩在270分以上的人数，求出其中三题都答对的人数X的可能取值，
以及三题都答错的人数Y，计算对应的数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）设第i（i=1，2，3，…，8）组的频率为f_i，
由频率分布图知，
f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.0016+0.008）×10=0.12；
所以成绩在260分以上的同学的概率为
P≈$\frac{{f}_{7}}{2}$+f₈=0.14，
故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人；                   …（4分）
（Ⅱ）成绩在270分以上的同学的人数约为
$\frac{{f}_{8}}{2}$×2000=80（人），
设80人中三题都答对的人数为X，则
X～B（$\frac{1}{8}$，80），E（X）=$\frac{1}{8}$×80=10，
所以，获得A类资格的人数约为10人；
设280人中三题都答错的人数为Y，则
Y～B（$\frac{1}{8}$，280），E（Y）=$\frac{1}{8}$×280=35，
所以，获得B类资格的人数约为
280-10-35=235（人）．           …（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图以及n次独立重复事件的数学期望值的计算问题，是综合题．