题目内容
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=
被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（ ）
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①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：分段函数的应用
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=-
，x2=0，x3=
，可得A（
，0），B（0，1），C（-
，0），三点恰好构成等边三角形．
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
解答：
解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；
接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=-
，x2=0，x3=
，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（
，0），B（0，1），C（-
，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：C．
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；
接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=-
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| 3 |
| ||
| 3 |
∴A（
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| 3 |
| ||
| 3 |
故选：C．
点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
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以下叙述正确的是（ ）
| A、两个相互垂直的平面，在其中一个平面内任取一点，过该点作它们交线的垂线，那么该直线一定垂直于另外一个平面 |
| B、如果一个平面内有两条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面一定平行 |
| C、垂直于同一平面的两个平面平行 |
| D、过空间中任一点有且仅有一条直线和已知平面垂直． |
已知tanα=2，则3sin2α-cosαsinα+1=（ ）
| A、3 | B、-3 | C、4 | D、-4 |
下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是图中的（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则
=（ ）
| a |
| b |
| A、2 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |