Question

15．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且对称中心为（-$\frac{b}{3a}$，f（-$\frac{b}{3a}$））．若f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则f（$\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+f（${\frac{3}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）=n-1．（n≥2且n∈N）

Answer 1

分析 推导出f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1），从而f（1-x）+f（x）=2，由此能求出f（$\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+f（${\frac{3}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）的值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+f（${\frac{3}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）=2×$\frac{n-1}{2}$=n-1．
故答案为：n-1．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真题，注意函数性质的合理运用．