Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$，函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则z=2^a的取值范围是（　　）

• A． [${\frac{1}{2}$，2）
• B． [1，4]
• C． [${\frac{1}{4}$，4）
• D． [${\frac{1}{2}$，4）

Answer 1

分析 由已知写出分段函数g（x），求出两段函数的零点，由每一段函数的零点在其定义域内列不等式组求得a的范围，进一步得到z=2^a的取值范围．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$，得
g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
而方程-x+2=0的解为2，方程x²+3x+2=0的解为-1或-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\-1≤a\\-2≤a\end{array}\right.$，解得-1≤a≤2，
∴z=2^a的取值范围是$[{\frac{1}{2}，4}）$．
故选：D．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查分段函数的应用，是中档题．