Question

7．在等差数列{a_n}中，a₃=k，a₉=12．
（1）当k=6时，求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（2）若b_n=n²+6a_n且对于任意n∈N^*，恒有b_n+1＞b_n成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=6\\{a_1}+8d=12\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=4\\ d=1\end{array}\right.$，
则a_n=a₁+（n-1）d=n+3．
∴S_n=$\frac{n（n+7）}{2}$．
（2）由b_n+1＞b_n知该数列是一个递增数列，又通项公式a_n=$\frac{（12-k）n+9k-36}{6}$’
∴b_n=n²+6 a_n=n²+（12-k）n+9k-36，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N^*，
∴$\frac{k-12}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即得k＜15．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．