Question

3．已知点M（x₀，y₀）在圆C：x²+y²=4上运动，点N（4，0），点P（x，y）为线段MN的中点，
（Ⅰ）求点P（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）求点P（x，y）到直线3x+4y-26=0的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用x和y表示出M的坐标代入圆的方程即可求得P的轨迹方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵点P（x，y）是MN的中点，
∴x₀=2x-4，y₀=2y，
将用x，y表示的x₀，y₀代入到x₀²+y₀²=4中得（x-2）²+y²=1．
此式即为所求轨迹方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点P的轨迹是以Q（2，0）为圆心，以1为半径的圆．
点Q到直线3x+4y-26=0的距离d=$\frac{|6-26|}{\sqrt{9+16}}$=4．
故点P到直线3x+4y-26=0的距离的最大值为4+1=5，最小值为4-1=3．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．解决直线与圆的方程问题，一般是看圆心到直线的距离，利用数形结合的思想来解决．