Question

19．函数f（x）的定义域为D，若x₁，x₂∈D且当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数，给出下列命题：
①反比例函数$f（x）=\frac{1}{x}$（x∈R，x≠0）是单值函数；
②二次函数f（x）=x²（x∈R）是单值函数；
③在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数．
以上命题中的真命题有①③（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析 在①中，当f（x₁）=f（x₂）时，$\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}$，从而x₁=x₂；在②中，当f（x₁）=f（x₂）时，${{x}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}$，从而x₁=±x₂；在③中，由单值函数的定义知在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数．

解答 解：在①中，$f（x）=\frac{1}{x}$（x∈R，x≠0），
当f（x₁）=f（x₂）时，$\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}$，∴x₁=x₂，故①是单值函数；
在②中，f（x）=x²（x∈R），
当f（x₁）=f（x₂）时，${{x}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}$，∴x₁=±x₂，故②不是单值函数；
在③中，由单值函数的定义知在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数，故③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查单值函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．