Question

2．幂函数y=f（x）的图象经过点$（3，\root{3}{3}）$，则f（x）是（　　）

• A． 偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
• B． 偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
• C． 奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
• D． 非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数

Answer 1

分析 设幂函数f（x）=x^α（α是常数），把已知点代入求出α的值，由函数奇偶性的定义判断出是奇函数，由幂函数的单调性，判断出在（0，+∞）上的单调性，即可得答案．

解答 解：设幂函数f（x）=x^α（α是常数），
∵幂函数f（x）的图象经过点$（3，\root{3}{3}）$，
∴${3}^{α}=\root{3}{3}={3}^{\frac{1}{3}}$，则$α=\frac{1}{3}$，
即$f（x）={x}^{\frac{1}{3}}$，
∴函数的定义域是R，且$f（-x）=-{x}^{\frac{1}{3}}=-f（x）$，
∴$f（x）={x}^{\frac{1}{3}}$是奇函数，
∵$α=\frac{1}{3}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）上递增，
故选C．

点评 本题考查待定系数法求出幂函数的解析式，以及幂函数奇偶性、单调性的应用，属于基础题．