Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为2-$\sqrt{3}$，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△AOB的面积为1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{2a×\frac{1}{2}=2b}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b即可．
（Ⅱ）将直线l：y=x+m与椭圆C的方程x²+4y²-4=0联立可得：5x²+8mx+4m²-4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{2a×\frac{1}{2}=2b}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）将线l：y=x+m与椭圆C的方程x²+4y²-4=0联立可得：5x²+8mx+4m²-4=0，
由△=64m²-4×5×（4m²-4）＞0，⇒m²＜5；
x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m}^{2}}}{5}$，
原点O到直线l：y=x+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
△AOB的面积为s=$\frac{1}{2}$×d×|AB|=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m}^{2}}}{5}×\frac{|d|}{5}$=1；
化简得4m⁴-20m²+25=0，m²=$\frac{5}{2}$，
m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，直线l的方程为：y=x±$\frac{\sqrt{10}}{2}$

点评 考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和距离公式，属于中档题．