Question

【题目】已知f（x）=ex+sinx+ax（a∈R）.

（Ⅰ）当a=﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；

（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）a≥﹣2；（Ⅲ）a＜0.

【解析】

（Ⅰ）代入，再求导分析导函数得即可.

（Ⅱ）分当与两种情况，分别求解单调性可得导函数在上单调递增.再讨论最小值与0的大小关系，从而得到原函数的单调区间，再设极值点分析是否满足恒成立即可.

（Ⅲ）根据，结合指数、正弦函数与一次函数的单调性直接写出即可.

（Ⅰ）解：a=﹣2，f'（x）=ex+cosx﹣2，

当 x＜0时，ex＜1，cosx≤1，

所以

所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减.

（Ⅱ）解：当x=0时，f（x）=1≥1，对于a∈R，命题成立，

当 x＞0时，设g（x）=ex+cosx+a，

则.

因为 ex＞1，sinx≤1，

所以 ，g（x）在（0，+∞）上单调递增.

又g（0）=2+a，

所以g（x）＞2+a.

所以在（0，+∞）上单调递增，且＞2+a.

①当a≥﹣2时，＞0，

所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增.

因为 f（0）=1，

所以f（x）＞1恒成立.

②当a＜﹣2时，=2+a＜0，

因为在[0，+∞）上单调递增，

又当 x=ln（2﹣a）时，=﹣a+2+cosx+a=2+cosx＞0，

所以 存在x0∈（0，+∞），对于x∈（0，x0），＜0恒成立.

所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，

所以 当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）=1，不合题意.

综上，当a≥﹣2时，对于x≥0，f（x）≥1恒成立.

（Ⅲ）解：a＜0.