Question

15．已知F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，O为抛物线的顶点，准线与x轴的交点为M，点N在抛物线上．
（1）求直线MN的斜率的取值范围，记λ=$\frac{{|{MN}|}}{{|{NF}|}}$，求λ的取值范围；
（2）过点N的抛物线的切线交x轴于点P，则x_N+x_P是否为定值？
（3）在给定的抛物线上过已知定点P，给出用圆规与直尺作过点P的切线的作法．

Answer 1

分析 （1）直线$MN：y=k（{x+\frac{p}{2}}）$，联立y²=2px，利用判别式求直线MN的斜率的取值范围，记λ=$\frac{{|{MN}|}}{{|{NF}|}}$，并求λ的取值范围；
（2）设切线方程为y-y_N=k（x-x_N），联立y²=2px，利用判别式可得x_P=-x_N，即可确定x_N+x_P=0；
（3）过P做x轴垂线，交x轴于点Q，在x轴负半轴上截取ON=OQ，连接NP即可．

解答 解：（1）直线$MN：y=k（{x+\frac{p}{2}}）$，联立y²=2px得，${k^2}{x^2}+（{{k^2}p-2p}）x+\frac{{{p^2}{k^2}}}{4}=0$
△≥0，解得$k∈[{-1，1}]，λ=\sqrt{1+{k^2}}$，∴$λ∈[{1，\sqrt{2}}]$．
（2）设切线方程为y-y_N=k（x-x_N），
联立y²=2px得，${k^2}{x^2}-2（{{k^2}{x_N}+p-k{y_N}}）x+{（{{y_N}-k{x_N}}）^2}=0，△=0$，
∴2k²x_N+p=2ky_N，
即${k^2}y_N^2+{p^2}-2k{y_N}p=0，{（{k{y_N}-p}）^2}=0$，
∴ky_N=p，${x_P}={x_N}-\frac{y_N}{k}={x_N}-\frac{y_N^2}{p}={x_N}-\frac{{2p{x_N}}}{p}=-{x_N}$，即x_N+x_P=0．
（3）过P做x轴垂线，交x轴于点Q，在x轴负半轴上截取ON=OQ，连接NP，即为切线．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线的作法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．