Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+a-2，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值为-

3

2

，求函数f（x）（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接结合三角恒等变换公式化简，然后，借助于三角函数的单调性求解其单调区间；
（2）结合[0，

π

2

]，然后，借助于三角函数的单调性确定其值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+a-2，
∴f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+a-2，
其单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
则f(x)min=

3

•(-

3

2

)+a-2=-

3

2

⇒a=2，
∴f(x)∈[-

3

，

3

]．
∴函数f（x）（x∈R）的值域[-

3

，

3

]．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．