Question

11．已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求多面体ABCDE的表面积．

Answer 1

分析 （1）线面平行转化证明线线平面即可．记AC∩BD=M，连FM，则M为AC的中点；证明FM∥AE，可证AE∥平面BFD；
（2）多面体ABCDE的表面积各面的面积之和．根据题设各边长计算即可．

解答 （1）证明：如图，记AC∩BD=M，连FM，则M为AC的中点；

而BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE，
在△BCE中，∵BE=BC，∴F为CE的中点；
从而FM是△ACE的中位线，所以FM∥AE，
又FM?平面DBF，AE?平面DBF，
∴AE∥平面BFD；
（2）由题意：由BF⊥平面ACE，
∴AE⊥BF；
∵BC⊥平面ABE，
∴AE⊥BC，AE⊥平面BEC，AE⊥BE，
因此△ABE为直角三角形，所以$AB=2\sqrt{2}$，
而$CE=2\sqrt{2}，DE=2\sqrt{2}$，所以△CDE为正三角形．
所以多面体ABCDE的表面积S_ABCD+S_△ESC+S_△CFD+S_AEFD=$\frac{1}{2}×2×2×3+\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{2\sqrt{2}}）^2}+2×2\sqrt{2}=6+2\sqrt{3}+4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面平行的证明和多面体ABCDE的表面积的计算．属于基础题．