已知关于x的二次函数f(x)=x2-2sinθx+$\frac{1}{4}$.．(1)若θ=$\frac{π}{6}$.求函数f(x)在x∈[-1.1]上的值域,在区间[-$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}}$]上是单调函数.求θ的取值集合,(3)若对任意x1.x2.∈[2.3].总有|f(x1)-f(x2)|≤2sinθt2+8t+5对任意θ∈R恒成立.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知关于x的二次函数f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$，（θ∈R）．
（1）若θ=$\frac{π}{6}$，求函数f（x）在x∈[-1，1]上的值域；
（2）若函数f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是单调函数，求θ的取值集合；
（3）若对任意x₁，x₂，∈[2，3]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2sinθt²+8t+5对任意θ∈R恒成立，求t的取值范围．

分析（1）化简二次函数f（x），利用配方法求解二次函数的值域即可．
（2）化简二次函数f（x）=（x-sinθ）²+$\frac{1}{4}$-sin²θ，通过函数的单调性，推出函数单调减时sinθ≥$\frac{1}{2}$，单调增时sinθ≤-$\frac{1}{2}$，求解即可．
（3）判断函数在[2，3]上单调递增，求出最值，得到|f（x₁）-f（x₂）|的最值，推出不等式求解t即可．

解答解：（1）二次函数f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$，θ=$\frac{π}{6}$，
可得：f（x）=x²-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²∈[0，$\frac{9}{4}$]．
函数的值域为：[0，$\frac{9}{4}$]．
（2）由题意二次函数f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$=（x-sinθ）²+$\frac{1}{4}$-sin²θ，
函数f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是单调函数，
∴函数单调减时sinθ≥$\frac{1}{2}$，单调增时sinθ≤-$\frac{1}{2}$，$所以θ的取值集合为[{\frac{π}{6}+2kπ，\left.{\frac{5π}{6}+2kπ}]}\right.或[{\frac{7π}{6}+2kπ，\left.{\frac{11π}{6}+2kπ}]}\right.（k∈{Z}）$．
（3）因为对称轴x=sinθ≤1，所以函数在[2，3]上单调递增，
从而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min
=f（3）-f（2）．
=5-2sinθ≤2sinθt²+8t+5，所以（1+t²）sinθ+4t≥0，对任意θ∈R恒成立，
即$\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤sinθ，\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤{（sinθ）_{min}}=-1$，
所以t²-4t+1≤0，则t的取值范围：$[{\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}}]$．