Question

9．关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈C且a≠0）有下列四个命题：①b²-4ac=0时，方程有两个等根；②b²-4ac＜0时，方程有两个不等虚根；③当方程有两个不等虚根α、β时，|α|²=|β|²=αβ；④当方程有两个根α、β时，ax²+bx+c=a（x-α）（x-β），
其中正确命题的序号为①②③④．

Answer 1

分析 利用求根公式，在b²-4ac＜0时，利用复数的概念解题即可判断①②正确；
根据复数模长的概念可判断③正确，根据因式分解的意义可判断④正确．

解答 解：①根据求根公式可知，当b²-4ac=0时，方程有两个等根，故正确；
②b²-4ac＜0时，实数范围内无解，在复数范围内，x=$\frac{-b±\sqrt{4ac-{b}^{2}}i}{2a}$故方程有两个不等虚根，故正确；
③当方程有两个不等虚根α、β时，由求根公式显然能得出x=$\frac{-b±\sqrt{4ac-{b}^{2}}i}{2a}$，根据模长公式可得|α|²=|β|²=$\frac{c}{a}$=αβ，故正确；
④当方程有两个根α、β时，根据方程的定义和因式分解的意义可知，ax²+bx+c=a（x-α）（x-β）=0，可得两个根α、β，故正确，
故答案为①②③④．

点评 考查了求根公式的应用和复数的概念，复数模长的概念．