Question

已知函数f（x）在区间G上有定义，若对任意x₁，x₂∈G，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为区间G上的凹函数．判断下列函数是否为给定区间上的凹函数？并分别予以证明．
（1）f（x）=-2x²，x∈R；
（2）f（x）=2^x，x∈R．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：新定义

分析：（1）由已知分别求出f（

x1+x2

2

）和

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，然后做差根据凹函数的定义即可证明．
（2）利用均值定理可证

1

2

[2x1+2x2]≥2

x1

2

×2

x2

2

，故有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即可证f（x）=2^x为凹函数．

解答： 解：（1）函数f（x）在区间G上有定义，若对任意x₁，x₂∈G，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[-2x12-2x22]=-x12-x22；
f（

x1+x2

2

）=-2（

x1+x2

2

）²=-

(x1+x2)2

2

；
∵

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）=-x12-x22+

(x1+x2)2

2

=

(x1+x2)2

2

-x12-x22=-

(x1-x2)2

2

≤0；
既有f（

x1+x2

2

）≥

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）不是区间G上的凹函数．
（2）函数f（x）在区间G上有定义，若对任意x₁，x₂∈G，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[2x1+2x2]≥2

x1

2

×2

x2

2

=2

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）；
既有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）为区间G上的凹函数．

点评：本题主要考察了函数单调性的判断与证明，属于基础题．