Question

试求函数F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的最大值M（a）与最小值m（a）的表达式．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据零点分段法，当x≥2a时，F（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3，其图象开口方向朝上，且以直线x=a为对称轴，当x＜2a时，F（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3，其图象开口方向朝下，且以直线x=a为对称轴，结合x∈[1，2]对a值进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，可得函数F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的最大值M（a）与最小值m（a）的表达式．

解答： 解：（1）当0＜2a≤1时，a≤

1

2

，
F（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3，其图象开口方向朝上，且以直线x=a为对称轴，
故函数F（x）在[1，2]上为增函数，
故M（a）=F（2）=7-4a，
m（a）=F（1）=4-2a，
（2）当1＜2a＜2时，

1

2

＜a＜1，
函数F（x）在[1，2a]上F（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3为减函数，
在[2a，2]上F（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3为增函数，
故m（a）=F（2a）=3，
此时F（1）=2+2a，F（2）=7-4a，
①若

1

2

＜a≤

5

6

，此时F（2）≥F（1），
故M（a）=7-4a，
②

5

6

＜a＜1，此时F（2）＜F（1），
故M（a）=2+2a，
（3）当2a≥2时，a≥1，
F（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3，其图象开口方向朝下，且以直线x=a为对称轴，
①若1≤a＜

3

2

，函数F（x）在[1，a]上为增函数，在[a，2]上为减函数，
故M（a）=F（a）=a²+3，
m（a）=F（2）=-1+4a，
②若

3

2

≤a＜2，函数F（x）在[1，a]上为增函数，在[a，2]上为减函数，
故M（a）=F（a）=a²+3，
m（a）=F（1）=2+2a，
③若a≥2，函数F（x）在[1，2]上为增函数，
故M（a）=F（2）=-1+4a，
m（a）=F（1）=2+2a，

点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，函数的最值及其几何意义，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，由于分类比较复杂，故属于难题．