Question

已知直线y=k（x+1）与抛物线C：y²=-x交于A、B，
（1）若△AOB面积为

10

，求k的值．
（2）求证：以AB为直径的圆必过原点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用直线与抛物线联立方程组，通过韦达定理，推出AN两点纵横坐标的关系，设直线与x轴交于N，求出N（-1，0），利用S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB，通过△OAB的面积等于

10

，即可求k的值．
（2）求出OA与OB的斜率乘积等于-1，即可得到以AB为直径的圆过坐标系的原点O．

解答： （1）解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）设直线与x轴交于N，又k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0），
由题意可得方程组

y2=-x y=k(x+1)

，
消去x可得ky²+y-k=0，
由韦达定理可得y₁+y₂=-

1

k

，y₁•y₂=-1，
∴S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB=

1

2

|ON||y₁-y₂|=

1

2

•

1 k2 +4

=

10

解得k=±

1

6

．
（2）证明：∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²y₂²=x₁x₂，
∵k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

-1；
∴OA⊥OB，
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O．

点评：本题考查直线与抛物线的关系，韦达定理的应用，三角形面积的转化，考查计算能力，转化思想的应用．