Question

已知向量

OP

=( 2cos(

π

2

+x) ， -1 )，

OQ

=( -sin(

π

2

-x) ， cos2x )，定义f(x)=

OP

•

OQ

（1）求函数f（x）的表达式，并求其单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调性求其单调区间；
（2）通过f（A）=1，求出A的值，然后结合bc=8，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(

π

2

+x)(-sin(

π

2

-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
∴f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ⇒-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ
f（x）的递增区间为[ -

π

8

+kπ ， 

3π

8

+kπ ]k∈R
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ⇒

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ
f（x）的递减区间为[ 

3π

8

+kπ ， 

7π

8

+kπ ]k∈R
（2）由f（A）=1⇒

2

sin(2A-

π

4

)=1⇒sin(2A-

π

4

)=

2

2

又0＜A＜

π

2

⇒2A-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)所以2A-

π

4

=

π

4

⇒A=

π

4

故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性，三角函数的化简求值，三角形的面积的求法，考查计算能力．