Question

若不等式|x-a|+

1

x

≥

1

2

在x＞0上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≤2
• B、a＜2
• C、a＞2
• D、a≥2

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：通过对x-a＞0与x-a≤0的讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，分离参数a，转化为恒成立问题，利用函数的单调性与最值即可求得答案．

解答： 解：①当x-a＞0，|x-a|+

1

x

≥

1

2

?x-a+

1

x

≥

1

2

?a+

1

2

≤(x+

1

x

)min，
∵x＞0，x+

1

x

≥2（当且仅当x=

1

x

=1时取“=”），即(x+

1

x

)min=2，
∴a≤

3

2

；
②当x-a≤0，即0＜x≤a时，原不等式化为：a-x+

1

x

≥

1

2

?a≥x-

1

x

+

1

2

，
∵y=x与y=-

1

x

在（0，a]上均为增函数，
∴y=x-

1

x

+

1

2

在（0，a]上为增函数，于是，当x=a时，y_max=a-

1

a

+

1

2

，
∴a≥a-

1

a

+

1

2

，
解得：0＜a≤2；
综上所述，实数a的取值范围是a≤2．
故选：A．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与最值，属于难题．