Question

设命题p：方程2x²+x+a=0的两根x₁，x₂满足x₁＜1＜x₂，命题q：函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]内单调递增．
（Ⅰ）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（Ⅰ）设f（x）=2x²+x+a，由已知条件便知f（1）＜0，从而得到a＜-3，这便得到了a的取值范围；
（Ⅱ）q为真时，根据复合函数的单调性能够求出a＞1，所以若p∧q为真命题，则a＜-3，和a＞1同时成立，显然不可能，所以得出结论：p∧q不可能为真命题．

解答： 解：（Ⅰ）令f（x）=2x²+x+a，由题意得，f（1）＜0；
即3+a＜0，∴a＜-3；
∴p为真命题时，实数a的取值范围为（-∞，-3）；
（Ⅱ）若q为真，则a＞0且a•1-1＞0，即a＞1；
若p∧q为真，则p，q都为真；
则a＜-3和a＞1同时成立，这是不可能的；
故p∧q不可能为真命题．

点评：考查一元二次方程的实根和二次函数图象和x轴交点的关系，以及对二次函数图象的掌握，复合函数单调性的特点，p∧q真假和p，q真假的关系．