Question

【题目】已知圆:,直线.

(1)若直线与圆相切,求的值;

(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;

(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）或； （3） .

【解析】

（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．

(1)由圆心O到直线l的距离，可得k=±1。

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,

所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,

则

,可得k2<>

又因为k2>1,故k的取值范围为或。

(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2

同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,

所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2

又,将其代入上式并化简整理,

得,而x0∈R,

故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点。