Question

【题目】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（Ⅱ）先由（Ⅰ）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．

试题解析：（Ⅰ）过点，的直线方程为，

则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆的方程为． (1)

依题意，圆心是线段的中点，且．

易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得

设则

由，得解得．

从而．

于是．

由，得，解得．

故椭圆的方程为．

解法二：由（Ⅰ）知，椭圆的方程为． (2)

依题意，点，关于圆心对称，且．

设则，，

两式相减并结合得．

易知，不与轴垂直，则，所以的斜率

因此直线方程为，代入(2)得

所以，．

于是．

由，得，解得．

故椭圆的方程为．