Question

【题目】如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．

（Ⅰ）求证：，，，四点共面；

（Ⅱ）求证：平面∥平面；

（Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）要证，，，四点共面，只需证明∥；

（Ⅱ）只需证明∥平面，∥平面即可；

（Ⅲ）因为∥平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知∥，过作的平行线即可.

（Ⅰ）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以∥，

又四边形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四点共面；

（Ⅱ）由已知，为的中位线，所以∥，所以∥，

又平面，平面，所以∥平面，

同理∥∥，且，所以四边形为平行四边形，

所以∥，又平面，平面，所以∥平面，

又，所以平面∥平面.

（Ⅲ）∴过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，如图，

理由如下：因为∥∥，∴∥平面，平面，设平面平面，

由线面平行的性质定理知∥，所以过作的平行线交分别于，连

接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交

线.