题目内容
【题目】设
是奇函数，
是偶函数
，且其中
.
（1）求和的表达式，并求函数
的值域
（2）若关于
的方程
在区间
内恰有两个不等实根，求常数
的取值范围
【答案】（1）
值域为
（2）
【解析】
（1）由函数的奇偶性可得
，再结合条件列方程组求解，进而可得
，利用函数单调性可求得值域；
（2）由题意得方程
在区间
内恰有两个不等实根，令
，则可将方程转化为
在区间
内有唯一实根，利用函数单调性求得函数
的值域，进而可得常数
的取值范围.
（1）由已知
①，
以
代
，得
，
因为
是奇函数，
是偶函数，
所以②，
联立①②可得，
，
又
，
，
，于是
，
函数
的值域为；
（2）题意即方程在区间内恰有两个不等实根.
显然
不是该方程的根，所以令
由
得
，则原方程可变形为
易知函数
为偶函数，且在区间
内单调递增，所以
且题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内恰有两个值与之对应).
易知在区间内单调递减，
又
时，
，
所以
（此时每一个
，在区间内有且仅有一个
值与之对应).
综上所述，所求常数
的取值范围是.
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