Question

若x²+xy-y²=0，则

x2+3xy+y2

x2+y2

=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：由x²+xy-y²=0，（x与y中至少有一个不等于0）可得(

x

y

)2+

x

y

-1=0，令

x

y

=t，则t²+t-1=0，解得t.

x2+3xy+y2

x2+y2

=

t2+3t+1

t2+1

=

2+2t

2-t

．代入即可．

解答： 解：∵x²+xy-y²=0，x与y中至少有一个不等于0．
∴(

x

y

)2+

x

y

-1=0，令

x

y

=t，则t²+t-1=0，解得t=

-1± 5

2

．可得t²+1=2-t．
∴

x2+3xy+y2

x2+y2

=

t2+3t+1

t2+1

=

2+2t

2-t

．
当t=

-1+ 5

2

时，上式=

2+ 5 -1

2- 5 -1 2

=

5+3 5

5

=1+

3 5

5

．
当t=

-1- 5

2

时，上式=

2-1- 5

2- -1- 5 2

=

5-3 5

10

．

点评：本题考查了一元二次方程的解法和代数式的求值，考查了换元法，考查了计算能力，属于基础题．