Question

若对一切实数x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1≥0都成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：本题需要讨论：
①当a²-1=0时，得a=1或-1，分别代入原不等式验证即可；
②当a²-1≠0时，结合二次函数的图象可知，
只需该不等式对应的函数图象开口向上，且都在x轴上方或与x轴相切，据此可列出关于a的不等式组求解．

解答： 解：由题意得：
①a²-1=0即a=1或-1时，
将a=1代入原式得3≥0，显然恒成立，故a=1符合题意，
将a=-1代入原式解得x≤-

1

2

．显然不符题意．
②a²-1≠0时，若对一切实数x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1≥0都成立，
只需f（x）=（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1的图象在x轴上方或与x轴相切即可，
据此得a²-1＞0①且 （a-1）²-4（a²-1）（

2

a

+1）≤0②即可，
由①得a＞1或a＜-1③；
由②得（a-1）（3a²+11a+8）≥0，解得-

8

3

≤a≤-1或a≥1④．
联立③④得a＞1或-

8

3

≤a＜-1．
故答案为：a≥1或-

8

3

≤a＜-1．

点评：本题考查了运用二次函数的图象解决二次不等式恒成立的问题，因为是在整个实数集上恒成立，所以一般会用到判别式求解，要注意体会图象在解此类题时的作用．