题目内容
如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为2| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）求证CF⊥平面AEF．
考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，由正方形性质得AC⊥BD，从而OH⊥AC，以O为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE∥平面BCF．
（Ⅱ）求出
•
=-3+3=0，
•
=-3+3=0，可得
⊥
，
⊥
，由此能证明CF⊥平面AEF．
（Ⅱ）求出
| CF |
| AF |
| CF |
| AE |
| CF |
| AF |
| CF |
| AE |
解答：
（Ⅰ）证明：取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A（3，0，0），E（1，-2，0），C（-1，0，0），
D（1，-2，0），F（0，0，
），
=（-2，-2，0），
=（1，0，
），
=（-1，-2，
），
设平面BCF的法向量为
=（x，y，z），
则
，取z=1，得
=（-
，
，1），
又四边形BDEF为平行四边形，
∴
=
=（-1，-2，
），
∴
=
+
=
+
=（-2，-2，0）+（-1，-2，
）=（-3，-3，
），
∴
•
=3
-4
+
=0，
∴AE
，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF．
（Ⅱ）证明：
=（-3，0，
），
∴
•
=-3+3=0，
•
=-3+3=0，
∴
⊥
，
⊥
，
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A（3，0，0），E（1，-2，0），C（-1，0，0），
D（1，-2，0），F（0，0，
| 3 |
| BC |
| CF |
| 3 |
| BF |
| 3 |
设平面BCF的法向量为
| n |
则
|
| n |
| 3 |
| 3 |
又四边形BDEF为平行四边形，
∴
| DE |
| BF |
| 3 |
∴
| AE |
| AD |
| DE |
| BC |
| DE |
| 3 |
| 3 |
∴
| AE |
| n |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴AE
| n |
（Ⅱ）证明：
| AF |
| 3 |
∴
| CF |
| AF |
| CF |
| AE |
∴
| CF |
| AF |
| CF |
| AE |
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．
点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
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)，2015f(
)在大小关系为（ ）
| 2014 |
| 2015 |
A、2015f(
| ||||
B、2015f(
| ||||
C、f（1）＜2015f(
| ||||
D、f（1）＜2014f(
|