Question

20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}\right.$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范围为（-1，0）．

Answer 1

分析 利用导数法，分析函数的单调性及极值，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），即有-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，可得$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{2}{e{x}_{1}}$，计算即可得到所求范围．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}\right.$，
∴函数f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜0}\\{\frac{1-x}{{e}^{x}}，x≥0}\end{array}\right.$，
故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜$\frac{2}{e}$，
当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜$\frac{1}{e}$，
当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤$\frac{1}{e}$，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），
则f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），
即-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，
故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{2}{e{x}_{1}}$∈（-1，0），
故答案为：（-1，0）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，利用导数法研究函数的单调性，考查不等式的性质，难度中档．