题目内容
已知：△ABC中，
=
，求证：2b2=a2+c2．
| sinA |
| sinC |
| sin(A-B) |
| sin(B-C) |
考点：两角和与差的正弦函数
专题：证明题,三角函数的求值,解三角形
分析：运用诱导公式，将原等式化为sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），再运用公式：sin（α-β）sin（α+β）=sin2α-sin2β，结合正弦定理，化简即可得到．
解答：
证明：由
=
，
即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），
即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），
由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）
=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β
=sin2α-sin2β，
则有sin2B-sin2C=sin2A-sin2B，
则2sin2B=sin2C+sin2A，
由正弦定理，可得，
=
+
，
则有，2b2=a2+c2．
| sinA |
| sinC |
| sin(A-B) |
| sin(B-C) |
即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），
即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），
由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）
=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β
=sin2α-sin2β，
则有sin2B-sin2C=sin2A-sin2B，
则2sin2B=sin2C+sin2A，
由正弦定理，可得，
| 2b2 |
| 4R2 |
| c2 |
| 4R2 |
| a2 |
| 4R2 |
则有，2b2=a2+c2．
点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
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