Question

已知AB是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且满足OA⊥OB．
（1）求证：AB两点的横坐标之积，纵坐标之积都为定值；
（2）求证：直线AB过定点；
（3）求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,恒过定点的直线

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，结合OA⊥OB得到x₁x₂=-y₁y₂，然后把y12=2px1，y22=2px2作积得答案；
（2）由y12=2px1，y22=2px2，两式作差得直线AB的斜率，代入直线方程的点斜式，整理后得到y=

2p

y1+y2

(x-2p)，说明直线AB过定点（2p，0）；
（3）由y12=2px1，y22=2px2得y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2)，代入中点坐标公式后整理即可得到AB中点M的轨迹方程．

解答： （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y12=2px1，y22=2px2，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，
则y12y22=4p2x1x2=-4p2y1y2，
∴y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2；
（2）证明：由y12=2px1，y22=2px2，
两式作差得：y12-y22=2p(x1-x2)，
∴

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，即直线AB的斜率为

2p

y1+y2

．
∴直线AB的方程为y-y₁=

2p

y1+y2

(x-x1)，
即y=

2p

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，也就是y=

2p

y1+y2

(x-2p)．
∴直线AB过定点（2p，0）；
（3）解：由y12=2px1，y22=2px2，得
y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2)，
设AB中点M（x，y），则（2y）²-2（-4p²）=2p•2x，
即y²+2p²=px．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线关系的应用，训练了点差法求与中点弦有关的轨迹问题，是中档题．