题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=| π |
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（Ⅰ）求证：直线PC∥平面MBD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的余弦值．
考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间角
分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接MO，由MO∥PC，由此能证明直线PC∥平面MBD．
（Ⅱ）由CD∥AB，得∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），由此能求出AB与MD所成角的余弦值．
（Ⅱ）由CD∥AB，得∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），由此能求出AB与MD所成角的余弦值．
解答：
（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接MO
∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴O是AC中点，
又M为PA的中点，∴MO∥PC，
又MO?平面MBD，PC?平面MBD，
∴直线PC∥平面MBD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
连接AC，MC，则AC=1，MC=
MD=
=
，
∴AB与MD所成角的余弦值为
．
解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接MO
∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴O是AC中点，
又M为PA的中点，∴MO∥PC，
又MO?平面MBD，PC?平面MBD，
∴直线PC∥平面MBD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
连接AC，MC，则AC=1，MC=
| 2 |
| MA2+AD2 |
| 2 |
∴AB与MD所成角的余弦值为
| ||
| 4 |
点评：本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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|
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| ||||
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|
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